Ecuación de la Recta Tangente
El problema dice: Encontrar una ecuación de la recta tangente en cada uno de los siguientes puntos:
Con respecto a las siguientes ecuaciones paramétricas:
Lo primero que hay que definir es ¿Qués es una ecuación de la recta tangente?. Primeramente se define como ecuación de la recta tangente: y = mx + n
Dónde: y = coordenada eje yx= coordenada eje x
m= pendiente de la recta
n= constante
Ahora bien se toma la primer coordenada a la que se le denominará punto A:
Se realiza la primera derivada para encontrar la pendiente. Dando como resultado en términos de t
dy/dx= -2sen^3(t) cos (t)
El segundo paso correspondería a determinar t o θ. Igualamos la ecuación paramétrica de y al punto 3/2 y despejamos de tal forma que nos quede como resultado θ = 60° = pi/3
Después evaluamos la pendiente con respecto a pi/3 y obtenemos -0.64995 que es la inclinación tangencial de la recta. Seguido de ello sustituimos en la fórmula y=mx+n para determinar n. Que en este caso corresponde a n= 3/2 + 0.75 n=2.25
Después volvemos a sustituir los valores de n y m en la fórmula y=mx+n ocultando los valores de x y y para obtener nuestra ecuación de la recta tangente.
El mismo procedimiento se realizó con el punto B:
Una nota interesante es que se puede encontrar θ útilizando las fórmulas de x o de y e igualandolas con sus respectivos valores. Sea x o y el camino que se tome el resultado será el mismo.
De igual forma se hace con el punto C:
Finalmente podemos graficar nuestras ecuaciones paramétricas y verificar que nuestros resultados sean correctos
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